Propriétés:
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres quelconques.
Soient \(n\) et \(m\) deux entiers relatifs:
\(x^n \times x^m= x^{n + m}\)
\(\cfrac{x^n}{x^m} =x^{n - m}\)
\(\left(\cfrac{x}{y}\right)^{\text{n}} =\cfrac{x^n}{y^n}\)
\(\left(x^{n}\right)^m = x^{n \times m}\)
\(\left( x\times y \right)^n = x^{n} \times y^{n}\)
Démonstrations:
lorsque n et m sont deux entiers positifs:
\(x^n \times x^m= \underbrace{x \times x \times x \times x ..... \times x}_{n facteurs} \times \underbrace{x \times x \times x \times x ..... \times x}_{m facteurs}\)
ainsi, le facteur \(x\) est écrit \(n+m\) fois donc
\(x^n \times x^m = \underbrace{x \times x \times x \times x ..... \times x}_{n+m facteurs} = x^{n + m}\)
En supposant que \(n \le m\):
\(\cfrac{x^n}{x^m} = \cfrac{\overbrace{x \times x \times x \times x \times x \times x..... \times x}^{n facteurs}}{\underbrace{x \times x \times x \times x ..... \times x}_{m facteurs}} = \cfrac{\overbrace{\require{enclose}
\enclose{horizontalstrike}{x \times x \times x ... x \times x}}^{m facteurs} \times \overbrace{x \times x ... \times x}^{n-m facteurs}}{\underbrace{\require{enclose}
\enclose{horizontalstrike}{x \times x \times x \times x ..... \times x}}_{m facteurs}} \)
\(m\) facteurs sont simplifiés au numérateur ainsi qu'au dénominateur, il reste donc \(n - m\) facteurs au numérateur et \(\cfrac{x^n}{x^m} =x^{n - m}\)
\(\left(\cfrac{x}{y}\right)^{\text{n}} =\underbrace{\cfrac{x}{y} \times \cfrac{x}{y} \times \cfrac{x}{y} \times ... \times \cfrac{x}{y}}_{n facteurs} = \cfrac{\overbrace{x \times x \times x \times x \times ..... \times x}^{n facteurs}}{\underbrace{y \times y \times y \times y \times ..... \times y}_{n facteurs}} =\cfrac{x^n}{y^n}\)
\(\left(x^{n}\right)^m = \underbrace{x^{n} \times x^{n} \times x^{n} \times x^{n} ..... \times x^{n}}_{m facteurs \ égaux \ à \ x^{n}} = \underbrace{\underbrace{x \times x \times ... \times x}_{n facteurs} \times \underbrace{x \times x \times ... \times x}_{n facteurs} \times ..... \underbrace{x \times x \times ... \times x}_{n facteurs}}_{m \times m \ facteurs \ x} = x^{n \times m}\)
la preuve de l'égalité \(\left( x\times y \right)^n = x^{n} \times y^{n}\) repose sur un changement de l'ordre des facteurs dans le produit :
\(\left( x\times y \right)^n = \underbrace{(x\times y) \times (x\times y) \times ... (x\times y)}_{n facteurs \ égaux \ à \ (x\times y)} = \underbrace{x \times x \times ... \times x}_{n facteurs} \times \underbrace{y \times y \times ... \times y}_{n facteurs} = x^{n} \times y^{n}\)
Propriété:
Soit x un nombre non nul et n un entier relatif, \(x^n \times x^{-n}= 1\)
En effet, \(x^n \times x^{-n}= x^{n-n} = x^0 =1\)
On pourrait aussi observer que \(x^{-n}\) est l'inverse de \(x^{n}\) et écrire \(x^{n} \times x^{-n} = x^n \times \cfrac{1}{x^n} = \cfrac{x^n}{x^n}=1\)
Signe de \(x^n\):
Si x est un nombre positif, \(x^n \ge 0\) quelque soit l'entier relatif \(x^n\)
Si x est un nombre négatif et n est pair, \(x^n \ge 0\)
Si x est un nombre négatif et n est impair, \(x^n \le 0\)
Démonstration:
Supposons que x soit positif.
Si n est un entier positif, \(x^n\) est un produit de nombres positifs (tous égaux à \(x\)) et \(x^n\) est donc positif.
Si n est un entier négatif, -n est positif, x étant positif, \(x^{-n}\) est positif d'après ce qui précède.
\(x^{n} = \cfrac{1}{x^{-n}} \) est donc le quotient de deux positifs, donc positif.
Ainsi, si x est positif, que n soit positif ou négatif, \(x^n\) est positif.
Supposons maintenant que x soit négatif.
On va voir que le signe de \(x^n\) repose sur la parité de l'exposant n.
On suppose dans un premier temps que n est un entier positif.
Supposons que n soit pair.
\(x^n\) est donc le produit d'un nombre pair de négatifs, on peut donc regrouper les facteurs x par groupe de 2:
\(x^n = \underbrace{(x \times x)}_{positif} \times \underbrace{(x \times x)}_{positif} ..... \underbrace{(x \times x)}_{positif}\) est positif
Supposons que n soit impair.
En groupant par deux les facteurs x, il reste un facteur x négatif unique en fin de produit:
\(x^n = \underbrace{(x \times x)}_{positif} \times \underbrace{(x \times x)}_{positif} ..... \underbrace{(x \times x)}_{positif} \times \underbrace{x}_{négatif}\) est négatif
Si n est un entier négatif, alors -n est positif, et le passage à l'inverse \(x^{n} = \cfrac{1}{x^{-n}} \) et les résultats précédents suffisent à conclure.
Exemples:
\(7^4 \gt 0\) et \(6^{-5} \gt 0\) car 7 et 6 sont positifs. (nul besoin d'étudier la parité de l'exposant dans ce cas)
\((-10)^{4} \gt 0\) et \((-6)^{-8} \gt 0\).
En effet \(-10 \lt 0\) mais 4 est pair donc \((-10)^{4} \gt 0\)
De même \(-6 \lt 0\) et -8 est pair donc \((-6)^{-8} \gt 0\)
Par contre, \((-7)^5 \lt 0\) et \((-10)^{-7} \lt 0\)
En effet, les arguments des puissances sont négatifs et les exposants (ici 5 et -7) sont impair.