Définition:
Soit \(x\) un nombre quelconque.
Si \(n\) est un entier positif non nul:
\(x^n = \underbrace{x \times x \times x \times x ..... \times x}_{n facteurs}\).
Si \(n = 0\): \(x^0 = 1\).
Dans une écriture telle que \(3^5\), 5 s'appelle l'exposant (ou la puissance) de \(3^5\), et 3 peut porter le nom d'argument de la puissance.
On notera bien que dans cette définition, l'exposant \(n\) est positif.
Dans cette page, cette définition sera étendue aux exposants négatifs.
\(x^n\) se lit "\(x\) puissance n".
\(x^2\) se lit "\(x\) au carré".
\(x^3\) se lit "\(x\) au cube".
Exemples:
\(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\)
\(2^0 = 1\)
\((-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27\)
\((-1)^2 = (-1) \times (-1) = 1\)
Conséquences immédiates de la définition:
Pour tout entier \(n\) supérieur à 1, \(1^n = 1 \ et \ 0^n = 0\)
Attention:
Une erreur fréquente consiste à confondre puissances et produits:
\(x^n \neq x \times n\)
En effet,
\(
\left.
\begin{array}{ll}
2^3 = 8 \\
2 \times 3 = 6
\end{array}
\right \}=\ \ donc \ 2^3 \ \neq 2 \ \times 3
\)
Propriété:
Soit \(x\) un nombre quelconque, on a \(x^1 = x\)
Les puissances de 10:
\(10^0 = 1\)
\(10^1 = 10\)
\(10^2 = 100\)
\(10^3 = 1\ 000\) (un millier)
\(10^4 = 10\ 000\)
\(10^5 = 100\ 000\)
\(10^6 = 1\ 000\ 000\) (un million)
etc...
Dans le cas des puissances de 10, l'exposant indique le nombre de 0.
Remarque:
De la même manière qu'il est utile de connaître l'écriture fractionnaire d'un décimal \((3,5 = \frac{7}{2}\)),
Il sera souvent plus utile de transformer les nombres sous forme de puissances que l'inverse:
par exemple, 4 = \(2^2\) , 9 = \(3^2\) , 100 = \(10^2\) , 49 = \(7^2\)
Exemple à connaître:
| \(2^0 = 1\) \(2^1 = 2\) \(2^2 = 4\) \(2^3 = 8\) \(2^4 = 16\) \(2^5 = 32\) \(2^6 = 64\) | \(2 = 2^1\) \(4 = 2^2\) \(8 = 2^3\) \(16 = 2^4\) \(32 = 2^5\) \(64 = 2^6\) |
Remarque:
En informatique, \(3^2\) se note parfois 3^2, on rencontre aussi cette écriture sur une calculatrice.
Extension de la définition aux exposants négatifs:
Soit \(x\) un nombre non nul.
Si \(n\) est un entier strictement positif:
\(x^{-n} = \cfrac{1}{x^n}\)
(seul le ligne de l'exposant change)
Exemples:
\(2^{-4} = \cfrac{1}{2^4}\)
\((-3)^{-2} = \cfrac{1}{(-3)^{2}}\)
ainsi \(10^{-3} = \cfrac{1}{10^{3}} = \cfrac{1}{1000} = 0,001\)
\(x^{-1} = \cfrac{1}{x}\)
\(x^{-2} = \cfrac{1}{x^{2}}\)
Les puissances de 10 : (cas des exposants négatifs )
\(10^{-1} = \cfrac{1}{10^1} = \cfrac{1}{10} =0,1\) (un millième)
\(10^{-2} = \cfrac{1}{10^2} = \cfrac{1}{100} =0,01\) (un centième)
\(10^{-3} = \cfrac{1}{10^3} = \cfrac{1}{1000} =0,001\) (un millième)
\(10^{-4} = \cfrac{1}{10^4} = \cfrac{1}{10 \ 000} =0,000\ 1\) (un dix-millième)
\(10^{-5} = \cfrac{1}{10^5} = \cfrac{1}{100 \ 000} =0,000\ 01\) (un cent-millième)
\(10^{-6} = \cfrac{1}{10^1} = \cfrac{1}{1 \ 000 \ 000} =0,000\ 001\) (un millionième)
etc...
L'écriture décimale de \(10^{-n}\) contient donc \(n\) zéros en comptant l'unité, suivi d'un \(1\) en \(n^{ième}\) position.
\(10^{-n} = \underbrace{0,0000.....0}_{n \ zéros}{1}\).
Les puissances de 10 sont souvent utilisés dans l'expression des très grands et très petits nombres.
Exemples:
la vitesse de la lumière (\(notée \ c\)) est voisine de \(3 \times 10^{8} \ m/s = 300 \times 10^{6} \ m/s \ ou \ 300 \ 000 \ km/s\)
La taille moyenne d'un virus se situe aux alentours de \(200 \ nanomètres = 200 \times 10^{-9} \ m \ ou \ 2 \times 10^{-6} \ mm\)