1 Produits de nombres relatifs
Le produit de deux relatifs est un produit qui ne change pas par rapports aux multiplications connues.
C'est à dire que la distance à 0 d'un produit est le produit des distances à 0.
La règle des signes est la suivante :
Le produit de deux relatifs de même signe est positif
Le produits de deux relatifs de signes contraires est négatif
Ainsi:
\((+5) \times (+4)= (+20)\)
\((- 7) \times (- 3)= (+ 21)\)
\((+2) \times (- 4)= (- 8)\)
\((- 6) \times (+3)= (+18)\)
On pourra retenir que:
\((+) \times (+)= (+)\)
\((-) \times (-)= (-)\)
\((+) \times (-)= (-)\)
\((-) \times (+)= (-)\)
On remarquera que si un produit contient le nombre 0, ce produit est nul:
\((+5) \times 0= 0\)
\(0 \times (- 3)= 0\)
2 Produits de plusieurs relatifs
La distance à 0 du produit de plusieurs relatifs est le produit de leurs distances à 0, ce qui fait qu'en dehors du signe, la multiplication est inchangée.
En ce qui concerne le signe, c'est le nombre de relatifs negatifs qui compte:
- si le nombre de négatifs est pairs, le produit est positif
\((-2) \times (-3) \times (+1) \times (-5) \times (-1)= (+30)\)
ici, il y a 4 nombres négatifs dans le produit, 4 est pair, le résultat est donc positif
- si le nombre de négatifs est impair, le produit est négatif
\((-2) \times (-3) \times (+1) \times (-5) \times (-1) \times (-2)= (-60)\)
ici, il y a 5 nombres négatifs dans le produit, 5 est impair, le résultat est donc négatif
Définition: Carré d'un nombre relatif
Soit \(x\) un nombre relatif. On note \(x^{2}\) le nombre \(x \times x\)
Exemples:
\(0^{2} = 0 \times 0 = 0\)
\(4^{2} = 4 \times 4 = 16\)
\((-5)^{2} = (-5) \times (-5) = 25\)
D'après la règle précédente, le carré d'un nombre relatif est donc positif ou nul.
3 Quotients de deux relatifs
Le quotient de deux relatifs suit la même règle des signes que la division, ainsi:
- le quotient de deux relatifs de même signe est positif
- le quotient de deux relatifs de signes contraires est négatif
\(\cfrac{+6}{+2} = +3\)
\(\cfrac{-10}{-2} = +5\)
\(\cfrac{+18}{-3} = -6\)
\(\cfrac{-15}{+3} = -5\)
à noter que le quotient \(\cfrac{-3}{+5}\) s'écrit simplement \(- \cfrac{3}{5}\)
Définition de l'inverse d'un nombre non nul:
Soit \(x\) un nombre relatif non nul.
L'inverse de \(x\) , parfois noté \(x^{-1}\), est \(\cfrac{1}{x}\)
Exemples:
L'inverse de \(2\) est \(\cfrac{1}{2}\)
L'inverse de \(-12\) est \(\cfrac{1}{-12} = - \cfrac{1}{12}\)
D'après la règle précédente, l'inverse de x est du même signe que x.
4 Priorités opérations
Les priorité opératoires sont inchangées lorsque les calculs comportent des nombres relatifs:
- En l'absence de parenthèses, les produits et quotients sont prioritaires sur les additions et soustractions
- Lors qu'un calcul comporte une paire de parenthèses, les calculs entre parenthèses sont prioritaires
Lorsqu'un calcul comporte plusieurs paires de parenthèses, ce sont les calculs situés dans les parenthèses les plus intérieures qui sont prioritaires
Exemples
\((-7) + (-3) \times (-1) = (-7) + (+3) = -4\)
\((-7 - 3) \times (-3) = (-10) \times (-3) = +30\)
\((1 - (-7 - 3)) \times (-3) = (1 - (-10)) \times (-3) = (1 + (+10)) \times (-3) = (11) \times (-3) = - 33\)
\(\cfrac{5 + (-2) \times (-2) }{-1 + 2 \times (-1)} = \cfrac{5 + (+4) }{-1 + (-2)} = \cfrac{9}{-3} = -3\)