1 Somme et différence de nombres relatifs
On rappelle que 0 est l'unique nombre à la fois positif et négatif. On retiendra donc que la notation our +0 ou - 0 est simplement 0.
On rappelle que la distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre privé de son signe.
Ainsi, la distance à 0 de - 5 est 5
De même, la distance à 0 de 7,5 est 7,5.
Un nombre relatif est donc composé d'un signe (+ ou -) suivi de sa distance à 0.
$$
\underbrace{ - ~7,3}_{ nombre~relatif } = \underbrace{ - }_{signe} \underbrace{ ~~7,3~~ }_{distance~à~0}
$$
Addition de deux nombres relatifs de même signe:
La somme de deux nombre relatifs positifs est positive
La somme de deux nombres relatifs négatifs est négative
Dans chacun de ces deux cas, la distance à zéro de la somme est la somme des distances à 0
Exemples de la somme de deux relatifs de même signe:
$$
(+4) + (+5) = (+9)
$$
$$
(-6) + (-2) = (-8)
$$
Addition de deux nombres relatifs de signes contraires:
Le signe de la somme de deux relatifs de signes contraires est celui du relatif qui a la plus grande distance à 0.
La distance à 0 de la somme est la différence des distances à 0. (la plus grande moins la plus petite)
Exemples de la somme de deux relatifs de signes contraires:
$$
(+6) + (-9) = (-3)
$$
Dans cet exemple, la distance à 0 de (-9) est 9 et 9 est supérieur à la distance à 0 de (+6) qui est 6, donc le signe de la somme est le signe de (-9) donc négatif.
$$
(-10) + (+12) = (+2)
$$
Ici, la distance à 0 de (+12) est 12 et 12 est supérieur à la distance à 0 de (-10) qui est 10, donc le signe de la somme est le signe de (+12) donc positif.
Pour ajouter plusieurs nombres relatifs, on peut regrouper les positifs entre eux et les négatifs entre eux:
\(A = (-5) + (+25) + (-8) + (+10) + (-1) \\
~ = \underbrace{(+25) + (10)}_{~} + \underbrace{(-5) + (-8) + (-1)}_{~}\\
~ = (+35) + (-14)\\
~ = (+21)\\
~ = 21\)
On peut aussi effectuer les calculs de gauche à droite:
\(A = (-5) + (+25) + (-8) + (+10) + (-1) \\
~ = (+20) + (-8) + (+10) + (-1) \\
~ = (+12) + (+10) + (-1) \\
~ = (+22)+ (-1) \\
~ = 21\)
Soustraction de nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé:
\(B = (-5) - (+25)\\
~ = (-5) +(-25)\\
~ = -30\)
\(C = (-5) - (-25)\\
~ = (-5) + (+25)\\
~ = -30\)
Dans un calcul mêlant les additions et les soustractions, les soustractions doivent initialement être changées en la somme des opposés:
\(C = (-5) - (+25) + (-8) - (+10) + (-1)\\
~ = (-5) + (-25) + (-8) + (-10) + (-1)\\
~ = (-30) + (-8) + (-10) + (-1)\\
~ = (-38) + (-10) + (-1)\\
~ = (-48) + (-1)\\
~ = (-49)\)